025 Calki 2 semestr komentarz i dodatk zadania WZ

Użyte skróty: Dem. - Demidoviˇc, Sbornik zadaˇc po matematiˇceskomu analizu. K.-W. II - W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część II, Wydanie dziesiąte zmienione i uzupełnione, W-wa 1974, PWN. St.I - W.Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część pierwsza, Wydanie trzecie, W-wa 1975, PWN. St.II - W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część druga, Wyd. drugie popr., W-wa 1975, PWN.

DOBIERANIE GRANIC CAŁKOWANIA W CAŁKACH PODWÓJNYCH I POTRÓJNYCH (we współrzędnych kartezjańskich) Rozważamy całki podwójne (potrójne) po ustalonym obszarze domkniętym i ograniczonym D w przestrzeni R2 (odpowiednio, po ustalonym obszarze przestrzennym domkniętym i ograniczonym w R3 ) z pewnej ustalonej funkcji dwóch (odpowiednio - trzech) zmiennych. Zakładamy, że rozważane całki istnieją, np. rozważana funkcja jest ciągła w rozpatrywanym obszarze, względnie obszar da się podzielić na skończoną ilość części, wZ których to założenie jest spełnione. Z (a) Całka podwójna f (x, y) dx dy D

Jeżeli obszar płaski D jest normalny względem osi Ox, tzn. daje się przedstawić w postaci D = {(x, y) ∈ R : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, przy czym ϕ(x) ≤ ψ(x) dla a ≤ x ≤ b, tzn. krzywa y = ϕ(x)(a ≤ x ≤ b) jest rzeczywiście brzegiem dolnym obszaru D, a krzywa y = ψ(x)(a Z Z≤ x ≤ b) - jego brzegiem górnym, to całka podwójna funkcji f po obszarze D, oznaczana symbolem Zb daje się przedstawić w postaci tzw. całki iterowanej a

f (x, y) dx dy

D  ψ(x) Z   f (x, y)dy dx, którą dla uproszczenia 



ϕ(x)

Zb zapisu (zmniejszenia ilości nawiasów) zapisujemy symbolicznie jako a

ψ(x) Z dx f (x, y)dy. Zauważmy, że ϕ(x)

lewym brzegiem obszaru D jest wtedy odcinek prostej x = a (ϕ(a) ≤ y ≤ ψ(a)), a prawym - odcinek prostej x = b (ϕ(b) ≤ y ≤ ψ(b)); odcinki te mogą redukować się do punktu, jeżeli ϕ(a) = ψ(a) lub odpowiednio ϕ(b) = ψ(b). W każdym przypadku, odcinek ha, bi > jest rzutem obszaru D na oś Ox, i najmniejszym odcinkiem takim, że obszar D jest zawarty w pasie a ≤ x ≤ b, y-dowolne („zasada suwmiarki” - zob. ćwiczenia). Jeżeli krzywe y = ϕ(x) i/lub y = ψ(x) składają się w istocie z kilku łuków opisanych odrębnymi równaniami, to obszar D (lub, co na jedno wychodzi, odcinek ha, bi) trzeba podzielić na odpowiednią ilość części tak, aby w każdej z nich dolny i górny brzeg wyrażał się jednolitym równaniem - szukana całka jest wtedy sumą odpowiedniej ilości całek iterowanych. Zauważmy wreszcie, że (przy ustalonym obszarze) całka zewnętrzna zawsze ma stałe granice całkowania. Analogicznie, jeżeli obszar płaski D jest normalny względem osi Oy, tzn. daje się przedstawić w postaci D = {(x, y) ∈ R : c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, przy czym ϕ(y) ≤ ψ(y) dla c ≤ y ≤ d, tzn. krzywa x = ϕ(y)(c ≤ y ≤ d) jest istotnie brzegiem lewym obszaru D, a krzywa x = ψ(y)(c≤ y ≤ d) - brzegiem  ψ(y) Zd Z   prawym, to całka podwójna daje się przedstawić w postaci całki iterowanej f (x, y)dxdy  c

symbolicznie

Rd c

dy

ψ(y) R

ϕ(y)

f (x, y)dx . Zauważmy, że dolnym brzegiem obszaru D jest wtedy odcinek prostej

ϕ(y)

1

y = c (ϕ(c) ≤ x ≤ ψ(c)), a górnym - odcinek prostej y = d (ϕ(d) ≤ x ≤ ψ); odcinki te mogą redukować się do punktu (jeżeli ϕ(c) = ψ(c) lub odpowiednio ϕ(d) = ψ(d)). W każdym przypadku, odcinek hc, di jest rzutem obszaru D na oś Oy, i najmniejszym odcinkiem takim, że obszar D jest zawarty w pasie c ≤ y ≤ d, x-dowolne (znów “zasada suwmiarki”). Jeżeli krzywe x = ϕ(y) i/lub x = ψ(y) składają się w istocie z kilku łuków opisanych odrębnymi równaniami, to obszar D (w praktyce - odcinek hc, di) trzeba podzielić na odpowiednią ilość części tak, aby w każdej z nich lewy i prawy brzeg wyrażał się jednolitym równaniem - szukana całka jest wtedy sumą odpowiedniej ilości całek iterowanych. Podobnie jak poprzednio, całka zewnętrzna jest liczona w stałych granicach. Niekiedy obszar D można przedstawić w każdej z powyższych postaci - wybieramy wtedy takie przedstawienie, w którym trzeba dzielić na mniejszą ilość części lub obliczenie całki wewnętrznej jest prostsze. Jeżeli funkcja f jest nieujemna i ciągła na obszarze D, to całka jest równa objętości |V | obszaru V , gdzie V jest obszarem znajdującym się w górnej półprzestrzeni (tzn. nad płaszczyzną Oxy), pod powierzchnią z = f (x, y), (x, y) ∈ D. I. Całki podwójne. Z1 1. Narysować obszar, którego pole przedstawia całka 0

Z1 2. Zmienić kolejność całkowania w wyrażeniu 2

3. (Dem.3935). Obliczyć całkę

1

x/4

Z2x dx

0

ZZ

√

√

Z 2x Z2 Z2 dy + dx dy, i obliczyć to pole. dx Z3

f (x, y)dy + 0

x/4

Z3−x dx f (x, y)dy.

1

0

2

(x + y ) dx dy, gdzie D jest równoległobokiem, ograniczonym D

prostymi o równaniach y = x, y = x + a, y = a, y = 3a. Odp.: 14a4 . 4. (Trudne) Dobrać (na dwa sposoby) granice całkowania dla obszaru, ograniczonego z lewej strony prawą połówką okręgu x2 +(y−a)2 = a2 , a od góry i od dołu - odpowiednimi łukami okręgów x2 +y 2 = 4a2 oraz x2 + (y − 2a)2 = 4a2 (pomiędzy osią Oy a punktem przecięcia tych okręgów w pierwszej ćwiartce). Odpowiedź jest sumą dwóch albo trzech składników, zależnie od kolejności: √ √ 4ay−y 2 4a2 −y 2 Za Z2a Z Z f (x, y)dy + dy f (x, y)dy; dy √ √ a 0 2ay−y 2

√ a− Za2 −x2

Za dx 0

√

Za f (x, y)dy +

√ 2a− 4a2 −x2

2ay−y 2

4a Z2 −x2

dx 0

√ a+ a2 −x2

√

Z 3a f (x, y)dy + dx a

√

4a Z2 −x2

f (x, y)dy

√ 2a− 4a2 −x2

5. Zamienić poniższe całki podwójne na całki iterowane (na dwa sposoby), a następnie policzyć je (jednym Z Zz dwóch sposobów): a) ex+y dx dy D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} (kwadrat jednostkowy). Odp.: e2 − 2e + 1); ZDZ b)

xy dx dy

D jest trójkątem o wierzchołkach O(0, 0), A(a, 0), B(0, b).

D

2

Odp.: a2 b2 /24.

ZZ

D - obszar ograniczony parabolą y = x2 − 3 i prostą y = 1;

xy dx dy

c) ZDZ d)

x dx dy D - obszar ograniczony parabolą y = x2 i prostą y − x = 2.

Odp.: 0. Odp.: 9/4.

D

ZZ 6. Obliczyć

x3 dx dy po obszarze D, ograniczonym krzywymi x = 2, y = 2x, xy = 2. Odp.: 29/15. y2

D

7. Obliczyć objętość części walca obrotowego o promieniu a, którego osią jest oś Oy, leżącej nad trójkątem OAB, gdzie O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(a, a, 0). Odp.: a3 /3. 8. Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry powierzchnią z = x2 +y 2 +1, którego podstawą jest leżący w płaszczyźnie z = 0 kwadrat o wierzchołkach A(1, 1, 0), B(1, −1, 0), C(−1, −1, 0), D(−1, 1, 0). (Zad. podobne do zad. Dem.3935 powyżej). Odp.: 20/3. 9. Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry płaszczyzną z = x + 2y + 5, którego podstawą jest obszar płaski D, leżący w płaszczyźnie z = 0, ograniczony parabolą x = y 2 − 4 i prostą x = 5. (Można sprawdzić, że najmniejsza wartość funkcji f (x, y) = x + 2y + 5 w obszarze D wynosi 0, a więc f ≥ 0 w tym obszarze.) Odp.: 1152/5. 10. Obliczyć, korzystając z całki podwójnej, objętość ostrosłupa, ograniczonego płaszczyzną x + y + z = 1 i płaszczyznami układu współrzędnych. Odp.: 1/6. 11. Obliczyć pole obszaru, ograniczonego krzywymi x2 + y 2 = R2 , y = x + 2R, x = R oraz x = 0. Odp.: (5/2 − π/4)R2 . 12. Obliczyć pole obszaru, ograniczonego krzywymi y = x2 i x = y 2 . Odp.: 1/6. 13. Prosta y = 24 dzieli obszar ograniczony krzywymi y = 3x2 i y = 12x na dwie części. √ Obl. √ 16 2 + 11 32 2 − 24 √ = . stosunek pól obu części. Odp.: dolna/górna= 17 56 − 32 2 Z0 Z4 Z2 Z4 14. Narysować obszar, którego pole przedstawia całka: dx dy + dx dy. Zmienić kolejność −1

2−2x

2x

0

całkowania w tej całce i policzyć ją. 15. Zmienić kolejność całkowania w całkach: 4−x Z 2

Z3 a)

dx −3

Z3 f (x, y)dy

b)

dx −2

x2 −14

Zx+3

√

Z2a f (x, y)dy

c)

x2 −3

Z2ax f (x, y)dy

dx 0

√

2ax−x2

II. Współrzędne biegunowe. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r ≥ 0, ϕ ∈ h0, 2πi (lub np. ϕ ∈ h−π, πi - ogólnie, dowolny przedział o długości 2π); jakobian przekształcenia wynosi r. Jeżeli obszarowi D (opisanemu w zwykły sposób, tzn. w zmiennych kartezjańskich x, y) odpowiada przy przejściu do współrzędnych biegunowych pewien obszar ∆ (na płaszczyźnie Orϕ), to ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ D

∆

Jest to szczególna postać wzoru na zmianę zmiennych w całce podwójnej - ogólna postać będzie podana niżej, w punkcie III. Uwagi odnośnie dobierania granic całkowania we współrzędnych biegunowych. Do współrzędnych biegunowych jest sens przechodzić tylko wtedy, gdy krzywa ograniczająca obszar ma stosunkowo proste (prostsze niż we współrzędnych kartezjańskich) równanie we współrzędnych biegunowych, i/lub gdy 3

funkcja podcałkowa łatwo wyraża się we współrzędnych biegunowych. Jest tak w szczególności, gdy w równaniu lub funkcji występuje wyrażenie x2 + y 2 , które we współrzędnych biegunowych upraszcza się do r2 . Zwykle w całce iterowanej we współrzędnych biegunowych zewnętrzna całka jest względem ϕ, a wewnętrzna - względem r. W celu rozstawienia granic całkowania można postępować albo metodą czysto algebraiczną, albo włączyć w postępowanie intuicje geometryczne. Sposób algebraiczny polega po prostu na podstawieniu związków x = r cos ϕ, y = r sin ϕ do warunków opisujących obszar całkowania i otrzymaniu pewnego związku między r i ϕ; zwykle związek ten można otrzymać jako: r będące pewną funkcją ϕ. Należy przy tym pamiętać, że sens geometryczny mają tylko wartości r ≥ 0, co zwykle ogranicza zakres zmienności ϕ; należy dobrać dozwolone wartości ϕ, leżące w pewnym przedziale o długości 2π. W celu geometrycznego sprawdzenia, rozważamy półproste wyprowadzone z początku układu współrzędnych i badamy, dla jakiego zakresu kąta ϕ półproste te mają niepuste i nietrywialne (tzn. nie redukujące się do punktu) przecięcie z rozważanym obszarem - o ile obszar ten potrafimy wyznaczyć bezpośrednio, jak to często bywa w przypadku np. koła. Jeżeli to przecięcie jest po prostu (co najczęściej się zdarza) jakimś odcinkiem, to dla danego ϕ, r w całce wewnętrznej zmienia się właśnie po tym odcinku. (Dla porządku, wzmianka o rzadko występującym przypadku, gdy całkowanie w całce zewnętrznej odbywa się względem r: należałoby wyznaczyć ϕ jako funkcję r. Geometrycznie, należałoby rozważać okręgi o środku (0, 0) i ustalonym promieniu r i badać, po jakim łuku /łukach okręgi te przecinają się z rozważanym obszarem - to wyznaczyłoby zakres zmienności ϕ w całce wewnętrznej.) 1. (Dem.3989). Znaleźć pole obszaru, ograniczonego krzywą (x2 + y 2 )2 = a(x3 − 3xy 2 ) (gdzie a > 0). Wsk.: cos 3ϕ = cos ϕ(cos2 ϕ − 3 sin2 ϕ). Odp.: πa2 /4. 2. Obliczyć pole obszaru, ograniczonego krzywą (x2 + y 2 )2 = 4xy(x2 − y 2 ). ZZ 3. (Dem.3965). Obliczyć całkę

(x + y) dx dy , gdzie D jest obszarem, ograniczonym krzywą D

x2 + y 2 = x + y (jest to okrąg, nieprawdaż?). Wsk.: Zbadać algebraicznie i geometrycznie, że −π/4 ≤ ϕ ≤ 3π/4. Odp.: π/2. 4. (Fichtenholz III zad.7 str.17). Znaleźć położenie środka ciężkości obszaru, ogr. prawą pętlą lemniskaty (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ). Odp.: (πa/4, 0). 2 2 2 2 2 2 5. (Dem.3987). Znaleźć pole części wspólnej obszaru, ograniczonego krzywą (x +y ) = 2a √ (x −y ) 2 2 2 2 i zewnętrza okręgu x + y = a . Odp.: a ( 3 − π/3). 6. (Dem.3990). Obliczyć pole części obszaru ograniczonego krzywą (x2 +y 2 )2 = 8a2 xy, określonej  √ 3 a2 2 2 2 przez warunek (x−a) +(y−a) ≤ a (a > 0). Wsk. Kiedy sin 2ϕ ≥ 0? Odp.: (5 7 − π) + 2 arc sin . 4 4 7. (Fichtenholz III § 608 1(b) str.160). Obliczyć pole obszaru, ograniczonego krzywą (x2 + y 2 )2 = 2ax3 . Odp.: 5πa2 /8. 2 2 2 2 8. Obliczyć pole obszaru, √ √ zawartego między okręgami x + y = 2x oraz x + y = 6x oraz między prostymi 3y + x = 0, y − 3x = 0 (w obszarze na prawo od punktu (0, 0) przecięcia się tych prostych). 9. (Fichtenholz III § 608 3(a) str.162). Obliczyć pole obszaru, ograniczonego krzywą 2 2 (x /a2 + y 2 /b2 ) = xy/c. Wsk: Zastosować uogólnione współrzędne biegunowe x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ; jakobian przekształcenia wynosi abr. Odp.: a2 b2 /(2c2 ). 10. (Przykład sztuczny). Przekształcić całkę podwójną po kwadracie jednostkowym na całkę (iterowaną) we współrzędnych biegunowych. (W odpowiedzi będzie występowała, jak łatwo zauważyć, suma dwóch całek.)

4

III. Współrzędne, dobierane stosownie do danego obszaru całkowania. Jeżeli obszar ∆ na płaszczyźnie Ouv (czyli opisany we współrzędnych u, v) przy wzajemnie jednoznacznym przekształceniu opisanym wzorami x = x(u, v), y = y(u, v) przechodzi na obszar D w ∂x/∂u ∂y/∂u D(x, y) , = płaszczyźnie Oxy, przy czym jakobianem tego przekształcenia jest J = ∂x/∂v ∂y/∂v D(u, v) to ZZ ZZ ZZ D(x, y) du dv. f (x(u, v), y(u, v)) f (x(u, v), y(u, v)) |J| du dv = f (x, y) dx dy = D(u, v) ∆

∆

D

Analogiczny wzór zachodzi dla całek potrójnych. Szczególne przypadki - współrzędnych walcowych i sferycznych - zostaną omówione później (punkt VI ) ZZ 2 x sin xy 1. (Fichtenholz, t.III, § 611, zad.15 str.174). Znaleźć całkę dx dy, gdzie D jest obszay D

rem, ograniczonym czterema parabolami x2 = ay, x2 = by, y 2 = px, y 2 = qx, (0 < a < b, 0 < p < q). Wsk.: Wprowadzić nowe współrzędne ξ, η tak, aby x2 = ξy, y 2 = ηx.  1 sin pb − sin pa sin qb − sin qa Odp.: − . 3 p q 2. (St. II 244d). Obliczyć pole figury, ogr. pętlą liścia Kartezjusza x3 + y 3 − 3axy = 0 (a > 0). Wsk: Podstawić x = u cos v, y = u sin v; to pozwala opisać tylko część krzywej, leżącej w pierwszej ćwiartce, bo y/x = (tg v)2/3 ≥ 0, ale wystarczy to do opisania pętli. Odp.: 3a2 /2 . 3. Za pomocą odpowiednio dobranych współrzędnych znaleźć objętość bryły, ograniczonej powierzchniami z = 0, z = xy, x2 = y, x2 = 2y, xy = 1, xy = 2 (x, y ≥ 0). (Uwaga: Można też policzyć we współrzędnych kartezjańskich.) Odp.: ln 2/2. b) Całka potrójna. Całkę tę możemy sprowadzić do całki (potrójnie) iterowanej. W pierwszym etapie możemy sprowadzić ją do całki podwójnej z całki pojedynczej, względnie całki pojedynczej z całki podwójnej. Pierwszy przypadek jest koncepcyjnie łatwiejszy. Załóżmy, że obszar V daje się przedstawić w postaci V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}, gdzie ϕ(x, y) ≤ ψ(x, y) dla (x, y) ∈ D. Inaczej mówiąc, obszar V jest utworzony z nieskończonego walca (x, y) ∈ D, z-dowolne, przez obcięcie: od dołu - powierzchnią z = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D, a od góry - powierzchnią z = ψ(x, y), (x, y) ∈ D. Tak więc D jest rzutem obszaru V na płaszczyznę Oxy. Mamy wtedy wzór   ψ(x,y) ψ(x,y) ZZZ ZZ Z ZZ Z   f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz  dx dy = dx dy f (x, y, z) dz.  V

D

D

ϕ(x,y)

ϕ(x,y)

Całka zewnętrzna (podwójna) jest liczona po ustalonym obszarze, zamieniamy ją na całkę iterowaną stosując znane już zasady. Drugi przypadek. Załóżmy, że obszar V daje się przedstawić w postaci: V = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ z ≤ b, (x, y) ∈ Dz dla z ∈ ha, bi. Inaczej mówiąc, odcinek ha, bi jest rzutem obszaru V na oś Oz, i dla każdego ustalonego z0 ∈ ha, bi przekrojem obszaru V płaszczyzną na wysokości z0 jest pewien obszar Dz0 0 na płaszczyźnie z = z0 , którego rzut na płaszczyznę Oxy oznaczamy właśnie przez Dz0 . Wtedy zachodzi wzór:   ZZZ Zb Z Z Zb Z Z f (x, y, z) dx dy dz =  f (x, y, z) dx dy  dz = dz f (x, y, z) dx dy V

a

a

Dz

5

Dz

Znów całka zewnętrzna ma stałe granice całkowania, a całkę wewnętrzną (podwójną) zamieniamy na iterowaną zgodnie ze znanymi już zasadami. Oczywiście, powyższe rozważania możemy przeprowadzić dla każdej z płaszczyzn Oxy, Oxz i Oyz oraz osi Ox, Oy, Oz odpowiednio. Przy danej kolejności trzech zmiennych x, y, z w ostatecznej całce potrójnie iterowanej, wszystkie metody (o ile oczywiście ich zastosowanie jest możliwe) muszą prowadzić do takich samych granic całkowania. Wreszcie, wszystkie przedstawienia muszą prowadzić oczywiście do takiego samego wyniku (o ile, jak to zostało założone całka istnieje), chociaż mogą się różnić - i to znacznie - pracochłonnością obliczeń. Objętość obszaru przestrzennego (bryły w R3 ) jest całką potrójną z funkcji równej tożsamościowo 1 RRR po tym obszarze: |V | = dx dy dz. V

6

IV. Całki potrójnie iterowane - ćwiczenia rachunkowe. Sprawdzić poprawność obliczenia podanych całek trzykrotnie iterowanych; jakim całkom potrójnym (tzn. po jakim obszarze przestrzennym) one odpowiadają? π−x−y π−x Z1 Z1−x 1−x−y Zπ Z Z Z 1 π2 1. dx 2. dx − 2; dy dy (x + y + z)dz = ; sin(x + y + z)dz = 8 2 0

0

Z1 3. 0

0

Zπ 5. 0

0

0

Z1−x 1−x−y Z 1 dx dy (x2 + y 2 + z 2 )dz = ; 20

dx

4. 0

0

π−x−y π−x Z Z dx dy cos(x + y + z)dz = −π; 0

0 Z1−x

Z1

6.

(yz + zx + xy)dz =

1 ; 40

0

Z1−x 1−x−y Z dx dy ln(1 + x + y + z)dz =

0

0

dy 0

Z1

0 1−x−y Z

0

0

5 ln 2 − ; = 3 36 π−x−y π−x−y π−x π π−x Zπ Z Z Z Z Z π3 π π3 π 2 7. dx dy − ; 8. dx dy + ; sin (x + y + z)dz = cos2 (x + y + z)dz = 12 8 12 8 0

0

Z1 9. 0

0

0

Z1−x 1−x−y Z dx dy ln2 (1 + x + y + z)dz = 0

0

Z1 10.

0

0

Z1−x 1−x−y Z e dx dy exp(x + y + z)dz = − 1; 2

0

0

0

1 55 8 − ln 2+ ln2 2 (jak widać, dość trudne); = 108 9 3 Z Z1 Z1−x 1−x−y 1 11. dx dy dz = 1+x+y+z 0

0

0

ln 2 1 = − . 2 4 V. Całki potrójne. Objętość bryły. 1. Obliczyć objętość bryły, położonej w górnej półprzestrzeni (z ≥ 0), ograniczonej płaszczyznami z = 0, x + y = ±a, x − y = ±a oraz powierzchnią xy = a(z − a) (a > 0). Uwaga: Można policzyć bezpośrednio we współrzędnych kartezjańskich lub też wprowadzając nowe zmienne x+y = u, x−y = v. Odp.: 2a3 . 2. (K.-W. II 5.20). Znaleźć masę części kuli o promieniu c, leżącej w pierwszym oktancie układu współrzędnych (x, y, z ≥ 0) i ograniczonej powierzchnią (x/a) + (y/b) = 1 (a < c, b < c), wiedząc że jej gęstość w punkcie (x, y, z) wynosi ρ(x, y, z) = z. (Uwaga: masa bryły jest równa całce z gęstości masy po tej bryle.) Odp.: (1/24)ab(6c2 − a2 − b2 ). ZZZ xy 2 z 3 dx dy dz, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzch-

3. (Dem.4076). Obliczyć całkę V

niami z = xy, y = x, x = 1, z = 0. Odp.: 1/364. 4. Wyznaczyć granice całkowania dla całkowania po obszarze V , ograniczonym powierzchniami: y = 2x, y = x/2, xy = 2, z = x, z = 6 − (x2 + y 2 ). Z1 dx

Odp.: 0

2 2 6−(x Z +y )

Z2x x/2

dy

Z2

f (x, y, z)dz + x

1

7

Z2/x dx dy x/2

2 2 6−(x Z +y )

f (x, y, z)dz. x

5. Wyznaczyć granice całkowania po obszarze przestrzennym, ograniczonym przez powierzchnie (płaszczyzny) o równaniach x + y + z = 1, x + y + 2z = 2, x = 0, y = 0, z = 0. 6. Obliczyć objętość bryły, ograniczonej przez walec paraboliczny x = y 2 + 1 oraz płaszczyzny √ Zx−1 1−x+y Z2 Z dy x − y + z − 1 = 0 i z = 0. Wskazówka: dx dz lub jeszcze prostsza (bez pierwiastków 1

kwadratowych) całka postaci

R

dy

R

x−1

0

R

dx dz.

Odp.: 1/60.

7. Znaleźć objętość bryły, ograniczonej powierzchniami z = a2 − x2 , x + y = a, y = 2x, z = 0, y = 0. Odp.: 41a4 /162. 8. Znaleźć objętość bryły, ograniczonej powierzchniami 6x − 9y + 5z = 0, 3x − 2y = 0, 4x − y = 0, x + y = 5, z = 0Z(x Odp.: 15/2. Z Z≥ 0, y ≥ 0). dx dy dz 9. Obliczyć , gdzie V jest ostrosłupem ściętym o wierzchołkach: A1 (1, 0, 0), A2 (2, 0, 0), x2 + y 2 V

B1 (1, 1, 0), B2 (2, 2, 0), C1 (1, 1, 1), C2 (2, 2, 2). Odp.: (ln 2)/2. Wsk: Wykonać rysunek; obszar jest normalny względem płaszczyzny Oxy. 10. (K.-W.II zad.5.39) Obliczyć współrzędne środka ciężkości bryły V , określonej warunkami z ≥ y, x ≥ 0, 2x + 3y ≤ 3, z ≤ 1. Odp.: V (tzn. objętość) = 2, (ξ, η, ζ) = (9/10, −1/5, 3/5). VI. Współrzędne walcowe („biegunowe w przestrzeni”) i sferyczne. Współrzędne walcowe: analogicznie jak biegunowe, z dodatkowym związkiem z = z. Jakobian J = r, tak jak we współrzędnych biegunowych. Współrzędne sferyczne: x = r cos ϕ cos ϑ, y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin ϑ; wtedy ϕ ma sens „długości geograficznej” (0 ≤ ϕ ≤ 2π), zaś ϑ ma sens „szerokości geograficznej” (−π/2 ≤ y ≤ π/2) na sferze (r > 0). Jakobian przekształcenia wynosi J = r2 cos ϑ. Należy pamiętać, że x2 + y 2 + z 2 = r2 , zaś x2 + y 2 = r2 cos2 ϑ. 1. (Kapłan, str.433). Obliczyć objętość bryły, ograniczonej powierzchniami x2 + y 2 = 2z − z 2 , x2 + 2 y = 2 − z. (Wsk. Albo całka zewnętrzna względem z w dwóch przedziałach h0, 1i i h1, 2i oddzielnie, albo całki zewnętrzne względem r i ϕ po rzucie bryły na płaszczyznę Oxy.) Odp.: 7π/6. 2 2 2. (Dem.4020). Obl. objętość bryły, ograniczonej powierzchniami z = x + y oraz z = x + y. Odp.: π/8. 3. (Dem.4108). Obliczyć objętość bryły, ograniczonej powierzchnią (x2 + y 2 + z 2 )2 = a2 (x2 + y 2 − z 2 ). π 2 a3 Odp.: √ . 4 2 4. (Przerobione St.I 1548 c) Obliczyć całkę po obszarze V , określonym nierównościami x2 +y 2 +z 2 ≤ 2, x2 +y 2 ≤ z 2 , z ≥ 0. (Uwaga - dla wprawy można policzyć stosując zarówno współrzędne ! √ 16 2 4 walcowe, jak i sferyczne.) Odp.: − π. 15 3 5. Obliczyć objętość bryły, ograniczonej powierzchniami: x2 + y 2 + z 2 = 2z oraz 3(x2 + y 2 ) = z 2 . 6. (K.-W. II 5.31). Wyznaczyć moment bezwładności jednorodnej (ρ ≡ 1) elipsoidy x /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 ≤ 1 względem osi Oz. [Jest to całka po V z funkcji (x2 + y 2 ).] Odp.: 4πabc(a2 + b2 )/15. Wsk.: Zastosować uogólnione współrzędne sferyczne: x = ar cos ϕ cos ϑ, y = br sin ϕ cos ϑ, z = cr sin ϑ; jakobian J = abcr2 cos ϑ. 2

8

7. (K.-W. II 5.24). Obliczyć objętość bryły, ograniczonej dwoma walcami x2 + y 2 = a2 , x2 + z 2 = a2 . Wskazówka. Liczenie we współrzędnych walcowych, jak to sugeruje odpowiedź w K.-W., √ Zπ/2 Za tzn. V = 8 dϕ rdr 0

a2 −r2 cos2 ϕ

Z dz jest dosyć uciążliwe - wymaga np. skorzystania ze wzorów 326, 0

0

327 z Bronszteina); policzyć we współrzędnych kartezjańskich, licząc (1/8)V lub – jeszcze prościej – (1/16)V (płaszczyzna symetrii y = z). W odpowiednim czasie rozważyć podobieństwa i różnice między tym zadaniem a zadaniem o powierzchni części jednego walca, zawartej w drugim (zad.1 z następnego działu). Odp.: 16a3 /3. 8. Obliczyć objętość obszaru, ograniczonego kulą o promieniu R i walcem kołowym przechodzącym przez jej środek, o promieniu podstawy R/2. 9. Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry powierzchnią z = x2 + y 2 , którego podstawą jest część pierścienia kołowego ρ2 ≤ x2 + y 2 ≤ R2 , zawarta w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. 10. Obliczyć pole obszaru, ogr. krzywymi: (x − 1)2 + y 2 = 1, (x − 2)2 + y 2 = 4, y = x, y = 0. Odp.: 3(π + 2)/4.Z Z Z (x + y 2 z) dx dy dz, gdzie V jest bryłą, ograniczoną powierzchniami: x2 + y 2 = 2z

11. Obliczyć V

oraz z = 2. Odp.: 7π. 12. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: a) x2 + y 2 = 4x, z = x, z = 2x; p b) z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ x2 + y 2 ); c) z = x2 + y 2 , z = 4 − x2 −√y 2 .
c) 4π. Odp.: a) 8π; b) 2π 1 − 2/2 /3; 13. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniami x2 + y 2 = 1, z + y = 4, z = 0. Odp.: (0, −1/16, 65/32). 2 2 2 2 2 2 14. Obl. objętość części wspólnej kul: x + y + z ≤ 4z oraz x + y + z ≤ 2z + 3. Odp.: (27π/4). ZZZ (x + y + z)dx dy dz, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchniami: x2 + y 2 = 2z

15. Obl.

√
oraz x + y + z 2 = 3. Odp.: 2 − 2/5 π. 16. (K.-W.II zad.5.32) W półkuli x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ 0, gęstość zmienia się proporcjonalnie do odległości punktu od początku układu współrzędnych. Znaleźć współrzędne środka ciężkości tej bryły. Odp.: (0, 0, 2a/5). 17. (K.-W.II zad.5.34) Znaleźć współrzędne środka ciężkości bryły, ograniczonej paraboloidą 2 y + 2z 2 = 4x i płaszczyzną x = 2. Odp.: (4/3, 0, 0). V

2

2

VII. Pole powierzchni w przestrzeni (Wydz. Chemii - nie obowiązuje). Dla Wydziału Inżynierii Chemicznej jest to szczególny przypadek całki powierzchniowej niezorientowanej Jeżeli powierzchnia jest opisana równaniem parametrycznym x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), czyli wektorowo r = r(u, v), gdzie współrzędne (u, v) przebiegają pewien obszar płaski D, to pole tej powierzchni wyraża się wzorem ZZ √ ZZ 0 0 A2 + B 2 + C 2 du dv, S= |ru × rv | du dv = D

D

gdzie ru0 × rv0 = [A, B, C], 9

tzn. ∂y D(y, z) ∂u = A= D(u, v) ∂y ∂v

∂x ∂z D(z, x) D(x, z) ∂u ∂u , B = = − = − ∂x ∂z D(u, v) D(u, v) ∂v ∂v

∂x ∂z D(x, y) ∂u ∂u , C = = ∂z D(u, v) ∂x ∂v ∂v

∂y ∂u . ∂y ∂v

W szczególności dla płata opisanego równaniem z = g(x, y), (x, y) ∈ D, mamy ZZ q S= 1 + (gx0 )2 + (gy0 )2 dx dy, D

bo wtedy A = −gx0 , B = −gy0 , C = 1. 1. (K.-W. II 4.54). Dane są dwie powierzchnie walcowe o tym samym promieniu a, których osie przecinają się pod kątem prostym. Obliczyć pole tej części jednej powierzchni, która znajduje się wewnątrz drugiej. Odp.: 8a2 . 2. (K.-W. II 4.73). Znaleźć pole powierzchni (x cos α + y sin α)2 + z 2 = a2 , gdzie x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (zakładamy, że 0 ≤ α ≤ π/2). Odp.: 2a/(sin 2α). 3. Znaleźć pole powierzchni o równaniu (x2 + y 2 + z 2 )2 = a2 (x2 + y 2 ). Odp.: π 2 a2 . 4. (K.-W. II 4.70). Obliczyć pole części powierzchni az = xy, zawartej wewnątrz walca (x2 + y 2 )2 = 2a2 xy. Odp.: a(20 − 3π)/9. 2 2 5. Znaleźć pole powierzchni części walca x + y = Rx, zawartej wewnątrz kuli x2 + y 2 + z 2 = R2 . Odp.: 4R2 . 6. Obliczyć pole powierzchni części stożka y 2 + z 2 = x2 , wyciętej walcem x2 + y 2 = R2 . Odp.: 2πR2 . 7. Obliczyć pole pow. (x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 z. Wsk: Sparametryzować tę pow. za pomocą zmiennych r oraz ϑ, używanych we współrzędnych sferycznych. 16 sin2 ϑ + (cos2 ϑ − 3 sin2 ϑ)2 daje się po nieskomplikowanych przekształceniach przedstawić jako (1+4 sin2 ϑ)2 . Końcowa całka daje się z łatwością obliczyć poprzez podstawienie sin ϑ = u. Odp.: 2πa2 .

10

VIII. Całki krzywoliniowe nieskierowane. Długość łuku krzywej. Dana jest krzywa L : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ ht1 , t2 i (zawsze t1 ≤ t2 ) i funkcja f jest ciągła wzdłuż krzywej L. Całka krzywoliniowa nieskierowana wyraża się wzorem: Zt2

Z

f [x(t), y(t), z(t)]

f (x, y, z)ds =

p [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt.

t1

L

1. ZObliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane: xy ds, L - brzeg obszaru ograniczonego prostymi x = 0, y = 0, x = 4, y = 2;

a) L Z

b) ZL

z ds, L : x = et cos t, y = et sin t, z = et , t ∈ h0, 1i; 

−x

x = ln(1 + t2 ) , t ∈ h0, 1i; y = 2 arc tg t − t + 3

ye ds, L:

c) L Z

 xy ds

d)

L:

L

Z e) (St.II 221 b) Z c’)

yex ds, L:

L

√

K 

x = a cos t , t ∈ h0, 2πi. y = b sin t

√ xyz ds,gdzie K jest krzywą x = t, y = (2/3) 2t3 , z = t2 /2, 0 ≤ t ≤ 1. x = ln(1 + t2 ) , t ∈ h0, 1i. y = 2 arc tg t − t + 3

2 35 c’) (π−ln 2)+ . 3 12 2. (St.II 222) Obliczyć masę łuku krzywej K : y = ln x, x1 ≤ x ≤ x2 , jeżeli gęstość krzywej w każdym punkcie (x, y) jest równa x2 ; Odp.: 13 [(1 + x22 )3/2 − (1 + x21 )3/2 ]. 3. (St.II 228) Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego konturu trójkąta sferycznego na sferze x2 + y 2 + z 2 = a2 , x, y, z ≥ 0 [tzn. o wierzchołkach (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a)]. Odp.: x = y = z = 4a/(3π). 4. (St.II 229). Znaleźć pole części powierzchni walcowej x2 + y 2 = a2 , zawartej między płaszczyzną Oxy i powierzchnią z = (x2 + y 2 )3 . Odp.: 2πa7 . Odp.: b)

3(e2 −1)/2;

c) π 2 /16−ln 2/2+3π/4;

11

d) ab(a3 −b3 )/[3(a2 −b2 )];

IX. Całki krzywoliniowe skierowane. Praca siły przy przesunięciu wzdłuż krzywej. Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Potencjał pola. Wzór Greena. 1. Niech będzie dane pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ciągłe na krzywej regularnej zorientowanej L. Całkę krzywoliniową skierowaną obliczamy korzystając ze wzoru: Z P dx + Q dy + R dz =

(1) L

Zt2 =

[P (x(t), y(t), z(t)) x0 (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y 0 (t) + R(x(t), y(t), z(t)) z 0 (t)] dt

t1

2. Jeżeli pole W = [P, Q, R] określone naZ krzywej regularnej L skierowanej od punktu A do punktu B jest polem sił, to całka skierowana P dx + Q dy + R dz jest równa pracy tej siły wykonanej L

przy przemieszczeniu masy jednostkowej wzdłuż krzywej L od punktu A do B. 3. Całka krzywoliniowa skierowana jak w (1) nie zależy od drogi łączącej dane dwa punkty A, B i przebiegającej w tym obszarze - wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie podcałkowe P dx+Q dy+R dz jest różniczką zupełną pewnej funkcji F , tzn. P =

∂F , ∂x

Q=

∂F , ∂y

R=

∂F . ∂z

Warunkiem koniecznym na to (na to, aby było różniczką zupełną) jest z kolei, aby były spełnione warunki ∂P ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂R = , = , = . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y (pochodne „na krzyż” są sobie równe). Jeżeli obszar jest powierzchniowo jednospójny, to powyższe warunki są również dostateczne. Jeżeli wyrażenie podcałkowe jest różniczką zupełną funkcji F , to Z P dx + Q dy + R dz = F (B) − F (A), L

gdzie krzywa L jest skierowana od punktu A do punktu B. 4. Wzór Greena: Jeżeli L jest krzywą płaską zamkniętą skierowaną dodatnio i ograniczającą obszar jednospójny D, zaś funkcje P (x, y) i Q(x, y) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na jego brzegu L, to zachodzi wzór: ZZ 

Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = L

∂Q ∂P − ∂x ∂y



ZZ =

(Q0x − Py0 ) dx dy

D

D

1. ZPoliczyć całki krzywoliniowe skierowane: x dy − y dx dla i = 1, 2, 3, gdzie Ki – krzywe skier. od punktu A(1, 0) do B(0, 1): K1 – łuk

a) Ki

okręgu x2 + y 2 = 1 leżący w I ćwiartce, K2 – odcinek AB, zaś K3 – suma dwóch odcinków AO i OB (inaczej mówiąc, łamana AOB); Odp.: (π/2, 1, 0.) 12

Z (2R − y) dx + x dy, gdzie K jest łukiem cykloidy x = R(t−sin t), y = R(1−cos t), skierowanym

b) K

od punktu A(0, 0) doZpunktu B(2πR, 0); x2 dy − y 2 dx c) (St.II 233 b) , gdzie K jest łukiem asteroidy x(t) = a cos3 t, y(t) = a sin3 t od x5/3 + y 5/3 K

punktuZA(a, 0) do punktu B(0, a) (w I ćwiartce). Odp.: (3/16)πa4/3 . d) (y 2 − z 2 )dx + 2yz dy − x2 dz, gdzie K jest krzywą x = t, y = t2 , z = t3 , skierowaną od punktu K

A(0, 0, 0) do punktuZ B(1, 1, 1); e) (St.II 235 c) ydx + zdy + xdz, jeżeli K jest łukiem linii śrubowej

Odp.: 1/35.

K

x(t) = aZcos t, y(t) = a sin t, z = bt od punktu A(a, 0, 0) do punktu B(a, 0, 2πb).

Odp.: −πa2 .

(y − x)dx − z dy + (y − z 2 )dz, gdzie K jest krzywą przecięcia walca x2 +z 2 = 1 z powierzchnią

f )* K

y = x + z 2 , skierowaną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jeżeli patrzeć z punktu (0, −1, 0). 2.a) (St.II 238 a) Obliczyć pracę wykonaną przez pole sił W = [y 2 − z 2 , 2yz, x2 ] przy przesunięciu punktu materialnego wzdłuż krzywej x(t) = t, y(t) = t2 , z(t) = t3 od punktu. (0, 0, 0) do punktu (1, 1, 1). Odp.: 1/35. b) Jaką pracę wykonuje siła F = [xy, y + z, z], przesuwając punkt materialny wzdłuż krzywej K : x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = t od punktu A(2, 0, 0) do punktu B(0, 2, π/2)? (1,2) Z y dx − x dy 3. Sprawdzić, że całka nie zależy od drogi całkowania nie przecinającej osi Oy. Polix2 (2,1)

czyć ją wzdłuż odcinka, łączącego punkty (2, 1) i (1, 2) oraz wzdłuż sumy dwóch odcinków, równoległych do osi układu współrzędnych. Znaleźć funkcję F , której różniczką zupełną jest wyrażenie podcałkowe. Policzyć F (1, 2) − F (2, 1). 4. Obliczyć następujące całki, sprawdziwszy najpierw, że nie zależą one od drogi całkowania: (3,1) Z √ y )dx + (x2 + x + 1)dy (wzdłuż drogi leżącej w półpłaszczyźnie x ≥ −1). a) (2xy + √ 2 x+1 (0,0)

Odp.: 11. (2,π)  Z   y y y y2 y b) 1 − 2 cos dx + sin + cos dy (w obszarze x > 0). x x x x x

Odp.: 1 + π;

(1,0) (1,1,1) Z

(1 + y)dx + (2y + x + z)dy + (3z 2 + y)dz;

c)

(0,0,0) (1,π/2,1) Z

(2xyz + sin2 y + 2x)dx + (x2 z + 2x sin y cos y + 1 − z sin y)dy + (x2 y + cos y)dz

d) (0,0,0)

Odp.: 2 + π. (1,2) Z y dx − x dy e) wzdłuż drogi leżącej w półpłaszczyźnie x > 0; x2 (2,1)

13

(6,8) Z

f)

x dx + y dy p wzdłuż drogi leżącej w R2 \ {(0, 0)}; x2 + y 2

(1,0) (0,1) Z

g)

y dx − x dy wzdłuż drogi leżącej w R2 \ {(0, 0)}; x2 + y 2

(1,0) (2,3,4) Z

h)

x dx + y dy + z dz p wzdłuż drogi leżącej w R3 \ {(0, 0, 0)}. 2 2 2 x +y +z

(1,2,3)

5. Jaką pracę wykonuje siła F = [P, Q, R], przesuwając punkt materialny od punktu A do B (sprawdzić, że pole sił F jest zachowawcze, czyli potencjalne).  z z z x 1 A(1, 1, 1), B(2, 2, 2); a) [P, Q, R] = 2 − 2 , 2, 2 − 2 2 xy x y x + z xy x +z 1 y x x xy b) [P, Q, R] = 1 − + , + 2 , − 2 A(1, 1, 1), B(2, 2, 2); y z z y z c) [P, Q, R] = [2x − yz, 2y − xz, 2z − xy] A(0, 0, 0), B(1, 2, 3); 6. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę: I xy 2 dy − x2 y dx, gdzie K - okrąg x2 + y 2 = a2 skierowany dodatnio;

a) K I

b)

(y − x2 )dy + (x + y 2 )dx, gdzie K = ∂D, skier. dodatnio,

K 2 2 2 2 D = {(x, I y) ∈ R : x + y ≤ a , x ≥ 0, y ≥ 0; c) (ex sin y − 2y)dx + (ex cos y − 2)dy, K = ∂D, skierowany dodatnio brzeg obszaru K 2 2 2 D = {(x, Odp.: (1 − e2 )/4; I y) ∈ R : x + y ≤ ax, y ≥ 0}; d) xy 2 dx − y 2 dy, gdzie K = ∂D, skierowany dodatnio, D - obszar ograniczony krzywymi K

y = ln x, y = 0, x = e. 7. (Dem. 4301) Korzystając ze wzoru Greena, obliczyć całkę krzywoliniową I 2 2 e−(x −y ) (cos 2xy dx + sin 2xy dy). x2 +y 2 ≤R2

7a. (Dem.4303) Korzystając ze wzoru Greena, obliczyć całkę krzywoliniową Z (ex sin y − my)dx + (ex cos y − m)dy, K

gdzie K - górna połowa okręgu x2 + y 2 = ax, przebiegana od punktu A(a, 0) do punktu O(0, 0). (Wsk.: dopełnić drogę do drogi zamkniętej odcinkiem OA.) Odp.: (1/8)mπa2 . 8. (St.II 244c) Za pomocą całki krzywoliniowej obliczyć pole figury, ograniczonej kardioidą x(t) = a(2 cos t − cos 2t), y(t) = a(2 sin t − sin 2t). Odp.: 6πa2 . Z x dy − y dx 9. (Tylko dla ambitnych) Obliczyć całkę , gdzie C jest krzywą zamkniętą nie przex2 + y 2 C

cinającą się ze sobą i nie przechodzącą przez środek układu. Wsk: Jeżeli punkt (0, 0) nie znajduje się w obszarze ograniczonym krzywą – nie ma kłopotu; w przeciwnym przypadku zastosować wzór Greena 14

do obszaru pomiędzy tą krzywą a odpowiednio małym okręgiem o środku w (0, 0). Odp.: odpowiednio 0 albo 2π. 10. (St. II 244d)/153, Ficht. III §552 1)/25. Obliczyć (z wykorzystaniem wzoru na pole wynikającego z twierdzenia Greena) pole figury, ograniczonej pętlą liścia Kartezjusza x3 + y 3 − 3axy = 0 (a > 0). Wsk. Podstawić y = tx. Odp.: 3a2 /2.

15

Poniższe działy nie są aktualnie realizowane na drugim semestrze Wydziału Chemicznego (natomiast - prawdopodobnie na drugim semestrze Wydz. Inżynierii Chemicznej i Procesowej). CAŁKI POWIERZCHNIOWE PIERWSZEGO RODZAJU (NIEZORIENTOWANE) Jeżeli powierzchnia S jest opisana równaniem parametrycznym x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), czyli wektorowo r = r(u, v), gdzie współrzędne (u, v) przebiegają pewien obszar płaski D, to całka (powierzchniowa niezorientowana) z funkcji ciągłej f po tej powierzchni wyraża się wzorem ZZ ZZ f (x, y, z) dS = f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |ru0 × rv0 | du dv = S

ZDZ =

√ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B 2 + C 2 du dv,

D

gdzie ru0 × rv0 = [A, B, C], tzn. ∂x ∂z ∂u , B = D(z, x) = − D(x, z) = − ∂u ∂z ∂x D(u, v) D(u, v) ∂v ∂v √ √ Uwaga: |ru0 × rv0 | = A2 + B 2 + C 2 = EG − F 2 , gdzie ∂y D(y, z) ∂u = A= D(u, v) ∂y ∂v

2

2

2

∂x ∂z ∂u , C = D(x, y) = ∂u ∂z D(u, v) ∂x ∂v ∂v

2

2

∂y ∂u . ∂y ∂v

2

E = x0u + yu0 + zu0 , F = x0u x0v + yu0 yv0 + zu0 zv0 , G = x0v + yv0 + zv0 . W szczególności dla płata opisanego równaniem z = g(x, y), (x, y) ∈ D, mamy ZZ q S= f (x, y, g(x, y)) 1 + (gx0 )2 + (gy0 )2 dx dy, D

bo wtedy A = −gx0 , B = −gy0 , C = 1. (Uwaga: całka z jedynki po powierzchni jest równa polu powierzchni - zob. VII.) ZZ

(x + y + z)dS, gdzie S jest górną połową sfery x2 + y 2 + z 2 = a2 .

1. (St.-W. II 256 c)). Obliczyć S

(Wypróbować dwie z możliwych parametryzacji.) Odp.: πa3 . 2. (St.-W. II 261). Obliczyć masę powierzchni stożkowej x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, jeżeli gęstość powierzchniowa ρ(x, y, z) = z 2 . Odp.: (1/2)πa4 sin α cos2 α. 3. (St.-W. II 266). Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny Oxy części jednorodnej (o gęstości r) powierzchni kuli x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0, wyciętej walcem x2 + y 2 − ax = 0.Odp.: (1/4)πa3 ρ.

16

CAŁKI POWIERZCHNIOWE DRUGIEGO RODZAJU (ZORIENTOWANE). Jeżeli powierzchnia jest opisana przedstawieniem parametrycznym x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), czyli wektorowo r=r(u, v), gdzie współrzędne (u, v) przebiegają pewien obszar płaski D, przy czym pole ru0 × rv0 wektorów normalnych ma orientację zgodną z orientacją powierzchni S, to całka (zorientowana, tzn. drugiego rodzaju) ciągłego pola wektorowego [P, Q, R] po tej powierzchni wyraża się wzorem Wariant 1 tekstu: Jeżeli powierzchnia S jest opisana równaniem parametrycznym x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), czyli wektorowo r = r(u, v), gdzie współrzędne (u, v) przebiegają pewien obszar płaski D, to całka (powierzchniowa niezorientowana) z funkcji ciągłej f po tej powierzchni wyraża się wzorem ZZ P dx + Q dy + R dz = S

ZZ (P (x, y, z)A + Q(x, y, z)B + R(x, y, z)C) du dv =

=

D  ZZ  D(z, x) D(x, y) D(y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z) du dv P (x, y, z) = D(u, v) D(u, v) D(u, v) D

gdzie [A, B, C] = ru0 × rv0 , tzn. 0 xu zu0 D(z, x) D(x, y) x0u yu0 D(y, z) yu0 zu0 D(x, z) ,B = ,C = . A= = =− = − 0 = xv zv0 D(u, v) yv0 zv0 s D(u, v) D(u, v) D(u, v) x0v yv0 W szczególności dla płata opisanego równaniem z = g(x, y), (x, y) ∈ D, mamy ZZ ZZ P (x, y, x) dx dy = P (x, y, g(x, y)) dx dy, D

D

bo wtedy A = −gx0 , B = −gy0 , C = 1. Wariant 2 tekstu: Jeżeli powierzchnia S jest opisana równaniem parametrycznym x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), czyli wektorowo r = r(u, v), gdzie współrzędne (u, v) przebiegają pewien obszar płaski D, to całka (powierzchniowa niezorientowana) z funkcji ciągłej f po tej powierzchni wyraża się wzorem ZZ P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy =  ZZ S D(y, z) D(z, x) D(x, y) = P (x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z) du dv D(u, v) D(u, v) D(u, v) D ZZ = (P (x, y, z)A + Q(x, y, z)B + R(x, y, z)C) du dv, D



 D(y, z) D(z, x) D(x, y) gdzie [A, B, C] = ru0 × rv0 = , , , D(u, v) D(u, v) D(u, v) 0 x0u zu0 D(y, z) yu zu0 D(z, x) D(x, y) x0u yu0 tzn. A = = ,B = = − 0 ,C = = . xv zv0 D(u, v) yv0 zv0 D(u, v) D(u, v) x0v yv0 17

W szczególności dla płata opisanego równaniem z = g(x, y), (x, y) ∈ D, z orientacją „do góry”, tzn. zgodną z orientacją osi Oz, mamy ZZ ZZ R(x, y, g(x, y)) dx dy R(x, y, z) dx dy = D

S

(bo wtedy

ru0

×

rv0

=

[−gx0 , −gy0 , 1]). ZZ

x3 dy dz + yz dz dx + x2 y 2 z dx dy po górnej stronie górnej połówki

1. (St.II 252). Obliczyć całkę S

elipsoidy (x2 /a2 ) + (y 2 /b2 ) + (z 2 /c2 ) = 1. Wskazówka: uogólnione współrzędne sferyczne. Odp.: 2πabc(a2 /5 + c/8 + a2 b/105).Z Z (x + z) dz dx , jeżeli S jest górną stroną trójkąta o wierzchołkach

2. (St.II 272a). Obliczyć całkę S

(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)(a, b, c > 0).Z Z 3. (St.II 272c). Obliczyć całkę

Odp.: ac(a + c)/6. xyz dy dz, jeżeli S jest wewnętrzną stroną powierzchni bocznej

S

stożka ściętego y 2 + z 2 = x2 , a ≤ x ≤ b, położonej w pierwszym oktancie (tzn. dla x, y, z ≥ 0). Odp.: (1/10)(b2 − a2 ). ZZ 4. (St.II 273c). Obliczyć całkę dy dz − 2 dz dx + x3 dx dy, gdzie S jest częścią leżącą w pierwS

szym oktancie zewnętrznej strony zamkniętej powierzchni, utworzonej ze stożka z 2 = x2 + y 2 , z ≥ 0 oraz paraboloidy x2 + y 2 = 4z − 4. Odp.: −2/3. ZZ xz dy dz − x dz dx − y dx dy, gdzie S jest częścią powierzchni

5. (St.II 273g). Obliczyć całkę S

stożkowej x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = r dla 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, zorientowanej zewnętrznie. Odp.: π/4. WZÓR GREENA-GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO. Jeżeli pole wektorowe [P, Q, R] jest klasy C 1 w obszarze domkniętym V , ograniczonym powierzchnią (oczywiście - zamkniętą) S, zorientowaną zewnętrznie w stosunku do tego obszaru, to zachodzi wzór ZZ ZZZ
Px0 + Q0y + Rz0 dx dy dz. P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy = S

V

1. (St.-W. II 277 a,b). Obliczyć dwoma sposobami (tzn. bezpośrednio oraz korzystając ze wzoru Greena RR - Gaussa - Ostrogradskiego): (a) xz dy dz − xy dz dx + yz dx dy, gdzie S - zewnętrznie zorientowana powierzchnia: x2 +y 2 = R2 S

(x ≥ 0, yRR≥ 0); x = 0; y = 0; z = 0; z = k > 0. Odp.: kR2 (16R + 3kπ)/24. (b) x3 dy dz + y 3 dz dx + z 3 dx dy, gdzie S jest zewnętrznie zorientowaną sferą x2 + y 2 + z 2 = a2 . S

Odp.: 12πa5 /5. 2. (St.-W. II 277 c, ale tylko ze wzoru Gaussa, gdyż bezpośrednie obliczenie jest zbyt uciążliwe.) Obliczyć całkę powierzchniową ZZ (x − y + z) dy dz + (y − z + x) dz dx + (z − x + y) dx dy, S

gdzie S jest zorientowaną zewnętrznie powierzchnią |x − y + z| + |y − z + x| + |z − x + y| = 1. Wskazówka: Po zastosowaniu tw. Gaussa (G.-G.-O.) wprowadzić nowe współrzędne u, v, w, gdzie 18

u = x − y + z, v = y − z + x, w = z − x + y. Obszarem całkowania będzie wtedy ośmiościan |u|+|v|+|w| = 1, a ponieważ funkcja podcałkowa jest stała, można tę całkę łatwo obliczyć, gdyż objętość ośmiościanu można obliczyć elementarnie. Odp.: 1. TWIERDZENIE (WZÓR) STOKESA Jeżeli pole wektorowe [P, Q, R] jest klasy C 1 na powierzchni zorientowanej S ograniczonej konturem L, przy czym orientacja krzywej L jest zgodna z orientacją powierzchni S, to zachodzi wzór ZZ Z (Ry0 − Q0z )dy dz + (Pz0 − Rx0 )dz dx + (Q0x − Py0 )dx dy. P dx + Q dy + R dz = S

L

1. (Gind.-St.IV zad 246 str.338). Obliczyć dwoma sposobami cyrkulację pola W = [2y, 3x, y + z] wzdłuż brzegu części sfery x(ϕ, ϑ) = 2 cos ϑ cos ϕ, y(ϕ, ϑ) = 2 cos ϑ sin ϕ, z(ϕ, ϑ) = 2 sin ϑ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, π/6 ≤ ϑ ≤ π/3, obieganego w kierunku dodatnim względem zewnętrznej strony sfery. Z 2. (St. II zad. 274a/174) Sprawdzić prawdziwość wzoru Stokesa dla całki

x2 y 3 dx + dy + z dz,

K

gdzie K jest okręgiem x2 + y 2 = a2 , z = 0, obieganym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara patrząc z góry, rozpinając na K górną połówkę powierzchni kuli x2 + y 2 + z 2 = a2 . Odp.: obie całki są równe 6 (1/8)πa . Z 3. (St. II zad. 254 str. 169) Obliczyć a) bezpośrednio b) korzystając z twierdzenia Stokesa - całkę (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz, gdzie K jest krzywą będącą przecięciem powierzchni

K

x2 + y 2 + z 2 = 2Rx oraz x2 + y 2 = 2rx, gdzie z > 0, 0 < r < R, przy czym orientacja krzywej K jest zgodna z dodatnią (zewnętrzną) orientacją części powierzchni kuli. Odp.: 2πRr2 . 4. (Gindifer, Stankiewicz IV zad 253/339.) Obliczyć cyrkulację pola wektorowego W = [y 2 , 2x, x+z] wzdłuż brzegu części paraboloidy hiperbolicznej ˜ r(y, z) = [yz, y, z], 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2 − 2y/3, obieganego w kierunku dodatnim względem tej strony powierzchni, po której znajduje się dodatnia półoś Ox i wynik sprawdzić korzystając ze wzoru Stokesa. Odp.: 5. 5. (Gindifer, Stankiewicz IV zad. 251/338.) Obliczyć cyrkulację pola W = [4y, 8x, 2x + z] wzdłuż brzegu części powierzchni stożkowej x(r, ϕ) = r cos ϕ, y(r, ϕ) = r sin ϕ, z = r, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 1 ≤ r ≤ 2, obieganego w kierunku ujemnym względem zewnętrznej strony powierzchni i wynik sprawdzić korzystając z tw. Stokesa. Odp.: 3 + 3π. 6. (Gindifer, Stankiewicz IV zad. 249/338.) Obliczyć całkę krzywoliniową I (x + 3y)dx + 4xdy + (8y + z)dz K

wzdłuż brzegu części powierzchni paraboloidy x(r, ϕ) = r2 , y(r, ϕ) = r cos ϕ, z = r sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2, obieganego w kierunku ujemnym względem zewnętrznej strony powierzchni i wynik sprawdzić, korzystając z twierdzenia Stokesa. Odp.: 32π.

19

I 2ydx − 3xdy + (y + z)dz

7. (Gindifer, Stankiewicz IV zad. 248/338.) Obliczyć całkę krzywoliniową K

wzdłuż brzegu części powierzchni walcowej x(ϕ, y) = 2 cos ϕ, y = y, z(ϕ, y) = 2 sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ 4, obieganego w kierunku dodatnim względem zewnętrznej strony powierzchni i wynik sprawdzić, korzystając z twierdzenia Stokesa. Odp.: 16. 8. Wykazać, że objętość obszaru przestrzennego V ograniczonego powierzchnią zamkniętą S można ZZ 1 obliczyć ze wzoru |V | = x dydz + y dzdx + z dxdy. 3 S

20