Temat 2 Estymacja, interpretacja i weryfikacja

Estymacja, interpretacja i weryfikacja modelu Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów KMNK Metoda ta znajduje takie wartości parametrów strukturalnych które minimalizują sumę kwadratów reszt: n

e i 1

2 i

min (bo suma =0 reszty są różnoznakowe), tzn.

ei

Zadanie 1. Na podstawie takiej samej próby trzema różnymi metodami estymacji oszacowano parametry pewnego modelu. Otrzymano następujące wektory reszt:  1   2    0 , a   5  1     3 

 2  2     6 , b   4  5     6 

 2  2     6 c   6   1     1 

Wiadomo, że jedna z zastosowanych metod estymacji była KMNK. Który wektor odpowiada wektorowi reszt otrzymanych KMNK? Odpowiedź uzasadnij. Założenia KMNK: 1. Zmienne objaśniające są nielosowe, ich wartości są traktowane jako wielkości stałe w powtarzających się próbach. 2. Wartości oczekiwane składników losowych są równe zeru, tzn. E ( i )  0 , dla i = 1,2,...,n. 3. Wariancje składników losowych εi są stałe, tzn., D(εi) = σ2 dla i = 1,2,...,n. (jest to tzw., własność homoskedastyczności). 4. Składniki losowe εi i εj są od siebie niezależne, dla i≠j dla i, j = 1.2,..., n (nie występuje autokorelacja składników losowych. 5. Każdy ze składników losowych ma rozkład normalny. 6. Liczebność próby jest większa niż liczba szacowanych parametrów, tj. n > k. 7. Pomiędzy wektorami obserwacji zmiennych objaśniających nie istnieje zależność liniowa (brak współliniowości). (współczynnik korelacji Pearsona wysoki dla zmiennych zależnych) 1

8. Postać funkcji jest liniowa względem parametrów, bądź sprowadzalna yi  0  1x1i  2 x12i  3 ln( x1i )   i -jest f. liniową względem parametrów

do

liniowej.

Modele sprowadzalne do liniowych Dobór postaci analitycznej modelu: a. wiedza aprioryczna o badanym zjawisku (teoria ekonomii), b. metoda prób i błędów (najlepsze dopasowanie do danych), c. w oparciu o wykres rozrzutu (korelacji). Istnieją metody estymacji modeli nieliniowych. Modele nieliniowe można estymować KMNK jeśli da się je sprowadzić do LINIOWYCH WZGLĘDEM PARAMETRÓW. Def. Model da się zlinearyzować jeśli istnieje jednoznaczne jego przekształcenie, w wyniku którego otrzymamy model liniowy. Niemożliwa jest jednak normalna interpretacja parametrów. Najpowszechniejsze to: - potęgowy:  Interpretacją jest elastycznością: Jeżeli wartość X wzrośnie o 1%, to wartość Y wrośnie/spadnie o α1%. - wykładniczy:  lub  Jeżeli wartość X wzrośnie o 1 jednostkę, to wartość Y wrośnie/spadnie o 100*α1%.

Estymator KMNK Dla modelu :

szacujemy parametry b wg wzoru:

Zadanie 2. Wyznacz parametry strukturalne modelu Y  Xβ  ε metodą najmniejszych kwadratów jeżeli:

a)

; [ ]

[

]

b)

. [ ]

[

]

Interpretacja parametrów Parametry w KMNK interpretacja:  W oszacowanym modelu yˆi  b0  b1 x1i ocena b1 informuje o ile wzrośnie (jeśli b1>0) lub zmaleje (jeśli b1<0) średni poziom zmiennej y pod wpływem zwiększenia się zmiennej x o jednostkę. PRZY INNYCH WARUNKACH NIEZMIENIONYCH!!!!!  Ceteris paribus

2



W oszacowanym modelu yˆi  b0  b1 x1i ocena b0 nie posiada sensownej interpretacji. W

niektórych przypadkach ekonomia nadaje wyrazowi wolnemu interpretacji, np. dla zależności konsumpcji od dochody wyraz wolny oznacza konsumpcję autonomiczną. Wyraz wolny interpretuje się wtedy kiedy sensowne jest założenie, że wszystkie zmienne objaśniane mogą jednocześnie być =0. 1 Dlatego modele np.: yˆ t  3  1,5xt  3,1xt2 , yˆ t  3  1,5 xt  3,1 , yˆ t  3  1,5xt  3,1ln( xt ), można szacować xt KMNK ale nie można interpretować parametrów - nie da się zachować założenia CETERI PARIBUS. ˆ Zadanie 3. Zinterpretuj parametry modelu: yt  87,5  0,55xt , wiedząc, że x wyrażone jest w kilogramach a y w złotych. Co stanie się gdy x wzrośnie o 5 jednostek? Co stanie się gdy wartość x spadnie o 10 jednostek? ˆ Zadanie 4. Rozważa się model yi  150  0,6 xi , gdzie yi to miesięczna wartość wydatków konsumpcyjnych w przeliczeniu na osobę w zł, xi to miesięczny dochód rodziny na osobę w zł, i=1,…,n. Zinterpretuj oszacowania parametrów. Jak zmienią się oszacowania parametrów modelu, gdy:  zmienna objaśniająca będzie wyrażona w tys. zł, a zm. objaśniana w zł,  zmienna objaśniająca będzie wyrażona w zł, a zm. objaśniana w tys. zł,  zmienna objaśniająca i zm. objaśniana będą wyrażone w tys. zł?

Oceny jakości modelu ekonometrycznego Ocena całego modelu Zmienność zmiennej objaśnianej w modelu, mierzoną jej wariancją, można rozłożyć na części składowe: S2y = S2y* + S2e część wytłumaczoną przez wpływ wyróżnionych w modelu zmiennych objaśniających - S2y* (= wariancja ∑ ̂

objaśniona);

̅

część, która nie jest wytłumaczona przez działanie zmiennych objaśniających, a której wielkość jest funkcją wektora reszt - S2e ∑

Wariancja resztowa (zmienność nieobjaśniona modelu) Współczynnik determinacji S2 R  y2*  Sy 2

 ( yˆ  y)  ( y  y)

2

t

t

 ( y  yˆ )  1  ( y  y) t

2

2

t

2

 1

t

e

(n  k ) S 2 e  1   2  rxy2 ( yt  y ) 2

2

t

 ( y  y)

2

 1

t

,



Za pomocą równania (zmiennych objaśniających) udało się objaśnić 98,5% zmienności zmiennej objaśnianej (lub prościej, że model w 98,5% objaśnia badane zjawisko). S2 Współczynnik zbieżności   e2  1  Sy 2

 ( yˆ  y)   ( y  yˆ )   e  (n  k )S  ( y  y)  ( y  y)  ( y  y)  ( y  y) 2

2

t

t

2

t

2

2

t

t

Część nieobjaśniona przez model. Skorygowany (dopasowany) współczynnik determinacji

3

2

e

t

2

t

t

2

 1  R 2  1  rxy2

T 1 ] = 97,4% interpretacja jak wyżej. Skorygowany o liczbę zmiennych-porównywanie T k modeli na tych samych danych ale z inna liczba zmiennych. SŁUŻY DO PORÓWNAŃ MODELI. Standardowy błąd szacunku (odchyleniu standardowym szacunku parametru błąd średni równania, R 2  1  [(1  R 2 )

1 1 ( yt  yˆ t ) 2    et2 nk nk Wartości teoretyczne odchylają się od empirycznych o średnio 2,57 jednostki zmiennej objaśnianej (szacując dane równanie mylimy się średnio o 2,57 jednostki zmiennej objaśnianej). Wyrażony w jednostkach fizycznych, nie da się porównywać.

pierwiastek z błędu średniokwadratowego) Se= S e   e  2

Se 2,57   15,6% y 16,45 błąd modelu stanowi ok. 15,6% średniej wartości zmiennej objaśnianej, lub, że 15,6% średniej wartości zmiennej objaśnianej stanowią wartości nieobjaśnione przez model (losowe). Im mniejsza wartość tym lepiej dopasowany model. Współczynnik zmienności Ve 

Ocena poszczególnych parametrów (zmiennych) Standardowy błąd estymatora - S (ˆ j ) - zwany błędem średnim estymatora

S (ˆ j )  Sˆ j   ˆ j 

 S 2 ˆ

2 e

(x T x) 1

Szacując parametr 0 mylimy się średnio o +/- 5,9, szacując parametr 1 mylimy się średnio +/- 0,6. Procentowy (względny) błąd estymatora – miara precyzji oszacowania parametru Vˆ j 

S (ˆ j ) ˆ j

Współczynnik nie powinien przekraczać 50%. Błąd oszacowania parametru 0 stanowi 20% jego wartości. Istotność parametru – statystyka t-Studenta H0: j=0 (parametr nieistotny statystycznie, czy też nie różni się istotnie od 0, zmienna nie jest istotna), H1: j≠0 (parametr istotny statystycznie)

tˆ j 

ˆ j S (ˆ j )

; tkryt dla poziomu istotności α (to nie parametr, np.0,05) i stopni swobody T-(k+1) (Liczba obserwacji –liczba parametrów z wyr. wolnym) 

Jeżeli

tˆ j  t kryt

to odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej (szacowany parametr jest

istotny statystycznie)

4



Jeżeli

tˆ j  tkryt to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (szacowany parametr jest nieistotny

statystycznie) (to nie to samo co przyjęcie hipotezy, ale z ekonomicznego pkt widzenia tak to się traktuje) Istotność parametru – wartość p To droga na skróty dla testu t-Studenta. Def. Wartość p to krytyczny poziom istotności dla testu t-Studenta, czyli poziom prawdopodobieństwa przy którym nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku istotności parametru przy obliczonej na podstawie próby wartości empirycznej statystyki. Przedziały ufności dla parametrów Przedziały ufności wyznaczają granice w których znajdą się wartości parametrów z góry określonym prawdopodobieństwem. Wyznaczanie przedziałów ufności nazywane jest również estymacją przedziałową.

(ˆ j  t kryt S (ˆ j );ˆ j  t kryt S (ˆ j ))

5