Cw 8

Ćwiczenia 8 Hedging 2 Zadanie 1 Akcja jest warta dzisiaj 100,00. Jutro może być warta 101,00 z prawdopodobieństwem 0,6 lub 99,00 z prawdopodobieństwem 0,4. Ile warta jest jednodniowa opcja na taką akcję? Podpowiedź: Zbuduj portfel zawierający 1 opcję oraz - ½ akcji i przedstaw możliwe wypłaty z opcji. Zadanie 2 Inwestor zainwestował w 1000 akcji spółki X po 213 zł, które zamierza sprzedać za 3 miesiące. Inwestor chce zabezpieczyć się przed ryzykiem spadku ceny. Na giełdzie są dostępne europejskie opcje call i put na 100 akcji tej spółki z cenami wykonania odpowiednio 200 oraz 220 i ceną 300 zł i 1000 zł. Jaką strategię powinien wybrać inwestor, aby zabezpieczyć swoją pozycję w akcjach. Jakie będą przepływy pieniężne jeżeli za 3 miesiące cena akcji wyniesie 183 zł lub 242 zł. Zadanie 3 Dana jest europejska opcja put na akcję niewypłacającą dywidendy o cenie wykonania równej 22 i terminie wygaśnięcia równym 4 miesiące. Ile wynosi współczynnik delta tej opcji, jeżeli cena akcji wynosi 20 a odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwroty 25% w skali rocznej. Stopa wolna od ryzyka wynosi 6%. Zadanie 4 Oblicz współczynnik delta dla europejskiej opcji call na 100 000$ o cenie wykonania 275000zł. przy założeniu, że stpa wolna od ryzyka w USA wynosi 2%, w Polsce 5%, a do terminu wygaśnięcia opcji pozostały 2 miesiące. Obecny kurs USD wynosi 2,8zł. Oszacowana zmienność kursu walutowego wynosi 25% w skali roku. Zadanie 5 Rozważmy europejską opcję kupna na akcje o okresie wygaśnięcia 9 miesięcy. Niech cena akcji wynosi obecnie 55j.p. cena wykonania opcji 60j.p. zmienność akcji kształtuje się na poziomie 30% w skali roku, a stopa wolna od ryzyka ma wartość 10%. Ile wynoszą współczynniki „gamma” i „vega” („lambda”) tej opcji i jak należy je interpretować. Zadanie 6 Inwestor sprzedaje 30 opcji call na akcje. Każda opiewa na 100 akcji. Cena wykonania opcji wynosi 700zł., a cena akcji 110zł. współczynnik delta jednej opcji wynosi 0,7. Inwestor zamierza zabezpieczyć swoją pozycję, co w takim przypadku powinien zrobić? Co powinien zrobić inwestor, jeżeli delta wzrośnie do 0,75? Zadanie 7 Pewien podmiot kupuje akcje po 55 zł/szt. i jednocześnie zajmuje krótką pozycję w europejskich opcjach kupna na te akcje. Cena opcji = 1,41. Oszacowano, że współczynnik δ tych opcji ma wartość 0,4542 i nie oczekuje się jego zmiany w rozpatrywanym okresie. Ile sztuk opcji musi wystawić inwestor i ile akcji musi kupić, aby skonstruować portfel o wartości 100.000 i δ=0 (zakładamy doskonałą podzielność instrumentów finansowych) Zadanie 8 Inwestor posiada 2000 akcji spółki Y. Na rynku dostępne opcje na tą akcję: - A - call z 2-miesięcznym terminem wygaśnięcia, - B - call z 2 tygodniowym terminem wygaśnięcia, - C - put z 2 miesięcznym terminem wygaśnięcia. Opcje te charakteryzują się następującymi współczynnikami greckimi: Opcja delta gamma A 0,15 4 B 0,42 2 C -0,23 6

vega 7 4 1

Zbuduj portfel złożony z akcji oraz odpowiednich opcji, aby był to portfel delta-gamma-vega neutralny.

Zadanie 9 Firma X przygotowuje się do realizacji dużego kontraktu, na realizację którego będzie musiała zaciągnąć 8miesięczny kredyt w wysokości 3 mln zł, w którym odsetki i kwota podstawowa zostaną spłacone na koniec okresu kredytowania. Firma ustaliła z bankiem warunki uzyskania kredytu, który ma być udzielony na okres 10 lutego 2010 r.- 10 października 2010 r., a jego stopa procentowa została ustalona jako stopa WIBOR 6M + 2,5%. Co powinna zrobić firma X w dniu 10 grudnia 2009 r., aby zabezpieczyć się przed wzrostem kosztu kredytu w ciągu najbliższych 2 miesięcy, jeżeli bank Y oferuje zawarcie kontraktu FRA 2x10 ze stopą 5,25%? Określ jakie będą przepływy z tytułu kontraktu, kredytu i całej zabezpieczonej pozycji jeżeli rozpatrujemy 2 scenariusze: a) stopa WIBOR za 2 miesiące spadnie do 4,5% b) stopa WIBOR za 2 miesiące wzrośnie do 5,95% a podmiot ma możliwość zainwestowania potencjalnie otrzymanej kwoty po stopie WIBOR 6M -0,5% lub skorzystania z krótkoterminowej pożyczki bankowej po stopie WIBOR 6M +3,5%. Zadanie 10 Bank wyemitował 3 letnie obligacje o kuponie WIBOR 6M + 0,80%, płatnym co pół roku i nominale 350 000 000 PLN. W kontrakcie IRS o tym samym nominale bank płaci raz do roku odsetki równe stopie 5%, a dostaje odsetki równe stopie WIBOR 6M 2 razy do roku. Przyjmując, iż okresy dzielą się na równe części po 0,5 roku, wyznacz płatności z tytułu kontraktu, jeśli stopa WIBOR 6M wynosiła: Okres 0 1 2 3 4 5 6

WIBOR 6M 5,5% 5,3% 4,9% 4,3% 5,1% 4,7% 4,1%

(okres 0 to dzień zawarcia kontraktu, kolejne to okresy płatności stopy zmiennej, stopa stała jest płatna w momentach 2, 4 i 6). Czy istnieje tu niedopasowanie pomiędzy płatnościami z tytułu obligacji a płatnościami w kontrakcie IRS? Zadanie 11 Spółka deweloperska zaciągnęła 2 letni kredyt w wysokości 40 000 000 PLN. Deweloper zajmuje się najmowaniem powierzchni handlowych w wybudowanych przez siebie centrach handlowo-rozrywkowych. Czynsze najmu wyrażone są w euro. Pragnąc zredukować swoją ekspozycję walutową (dochody w euro, a koszty w PLN) deweloper może zawrzeć kontrakt CIRS po kursie 4,16. W ramach kontraktu jedna ze stron płaci stawkę WIBOR 6M a druga EURIBOR 6M powiększoną o marżę 0,75%. Jakie będą przepływy pieniężne z tytułu kontraktu CIRS dla dewelopera jeśli stopy procentowe kształtowały się w następujący sposób: Okres 0 1 2 3 4

WIBOR 6M 4,8% 5,2% 5,1% 4,6% 4,0%

EURIBOR 6M 0,6% 0,65% 0,5% 0,4% 0,3%

Przyjmij, że kolejne okresy trwają dokładnie 0,5 roku.

2

Współczynniki greckie: Delta



- miara wrażliwości ceny opcji na zmianę ceny aktywa bazowego

V S



Z modelu Blacka-Scholesa: Opcja call:

 call  e(br )T N (d1 )

Opcja put:

 put  e(br )T  N (d1 )  1

2  S  ln     b  T 2  K  d1   T

2 S    ln     b  T 2  K  d2   d1   T  T

Gdzie: – cena instrumentu bazowego - cena wykonania opcji – stopa wolna od ryzyka – termin do wykupu ) – wartość dystrybuanty rozkładu normalnego – zmienność historyczna dla opcji/kontraktu forward na akcję niewypłacającą dywidendy dla opcji/kontraktu forward na akcję wypłacającą dywidendę, dla opcji/kontraktu forward na walutę, – stopa % obcej waluty Gamma



– stopa dywidendy

 - wrażliwość delty na zmianę ceny aktywa bazowego

 2V S 2

 call   put  (d1 )

 (d1 )e(br )T  S T

- funkcja gęstości rokłądu normalnego

 – wrażliwość ceny opcji na zmiany zmienności instrumentu bazowego V    call   put  Se(br )T  (d1 ) T

Vega

Theta



 

V T

- wrażliwość ceny opcji na upływ czasu

 - wrażliwość ceny opcji na zmiany stopy procentowej V  r

Rho

3