lista nr 8 odpowiedzi

Zadanie 3 Dana jest europejska opcja put na akcję niewypłacającą dywidendy o cenie wykonania równej 22 i terminie wygaśnięcia równym 4 miesiące. Ile wynosi współczynnik delta tej opcji, jeżeli cena akcji wynosi 20 a odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwroty 25% w skali rocznej. Stopa wolna od ryzyka wynosi 6%. Rozwiązanie: ܵ = 20 ‫ = ܧ‬22 ‫ = ݎ‬0,06 ‫=ܦ‬0 ܶ − ‫ = ݐ‬4/12 = 1/3 ߪ = 0,25

ߜ = ݁ ି஽ሺ்ି௧ሻ ሺܰሺ݀ଵ ሻ − 1ሻ ߜ = ݁ ଴ ሺܰሺ݀ଵ ሻ − 1ሻ = ሺܰሺ݀ଵ ሻ − 1ሻ 1 4 20 ln ቀ ቁ + ሺ0,06 + ∗ 0,25ଶ ሻሺ ሻ 2 12 22 ݀ଵ = = −0,4496 4 0,25ට 12 N(݀ଵ ሻ = 0,326501 ߜ = 0,326501 − 1 = −0.6735

Zadanie 4 Oblicz współczynnik delta dla europejskiej opcji call na 100 000$ o cenie wykonania 2,75zł. przy założeniu, że stopa wolna od ryzyka w USA wynosi 2%, w Polsce 5%, a do terminu wygaśnięcia opcji pozostały 2 miesiące. Obecny kurs USD wynosi 2,8zł. Oszacowana zmienność kursu walutowego wynosi 25% w skali roku. 2,8 1 2 ܵ = 2,8 ln ቀ ቁ + ሺ0,05 − 0,02 + ∗ 0,25ଶ ሻሺ ሻ 2,75 2 12 ‫ = ܧ‬2,75 ݀ଵ = = 0,2765 2 ‫ݎ‬௎ௌ஽ = 0,02 0,25ට 12 ‫ݎ‬௉௅ே = 0,05 N(݀ଵ ሻ = 0,6089 ‫=ܦ‬0 ߜ = 0,6069 ܶ − ‫ = ݐ‬2/12 = 1/6 ߪ = 0,25 Zadanie 5 Rozważmy europejską opcję kupna na akcje o okresie wygaśnięcia 9 miesięcy. Niech cena akcji wynosi obecnie 55j.p. cena wykonania opcji 60j.p. zmienność akcji kształtuje się na poziomie 30% w skali roku, a stopa wolna od ryzyka ma wartość 10%. Ile wynoszą współczynniki „gamma” i „vega” („lambda”) tej opcji i jak należy je interpretować. ߮ሺ݀ଵ ሻ ܵ = 55 ࢽ = ݁଴ ‫ = ܧ‬60 55 ∗ 0,3ඥ3/4 ‫=ܦ‬0 1 55 ln ቀ ቁ + ሺ0,1 + ∗ 0,3ଶ ሻሺ3/4ሻ 60 2 ‫ = ݎ‬0,10 ݀ଵ = 0,3ඥ3/4 ܶ − ‫ = ݐ‬9/12 = 3/4 ߪ = 0,3 ࢽ = 0,0278 ࢜ࢋࢍࢇ = 55݁ ଴ ߮ሺ݀ଵ ሻ ඥ3/4 = 18,94

Zadanie 6 Inwestor sprzedaje 30 opcji call na akcje. Każda opiewa na 100 akcji. Cena wykonania opcji wynosi 70zł., a cena akcji 110zł. współczynnik delta jednej opcji wynosi 0,7. Inwestor zamierza zabezpieczyć swoją pozycję, co w takim przypadku powinien zrobić? Co powinien zrobić inwestor, jeżeli delta wzrośnie do 0,75? Delta pozycji w opcjach: (-1 bo opcje są wystawione)*30*100*0,7 =-2100 Inwestor powinien kupić 2100 akcji. Gdy delta opcji wzrośnie do 0,75: -1*30*100*0,75 = -2250. Inwestor powinien dokupić 150 sztuk akcji. Zadanie 7 Pewien podmiot kupuje akcje po 55 zł/szt. i jednocześnie zajmuje krótką pozycję w europejskich opcjach kupna na te akcje. Cena opcji = 14,1. Oszacowano, że współczynnik δ tych opcji ma wartość 0,4542 i nie oczekuje się jego zmiany w rozpatrywanym okresie. Ile sztuk opcji musi wystawić inwestor i ile akcji musi kupić, aby skonstruować portfel o wartości 100.000 i δ=0 (zakładamy doskonałą podzielność instrumentów finansowych) Dla akcji δ =1. δ portfela = Σ xi∗δi

Musimy rozwiązać układ równań: 100 000 = ns* 55+ nc * 14,1 0 = ns * 1 + nc * 0,4542

ns- liczba akcji w portfelu nc- liczba opcji w portfelu

akcje = 4174,24 opcje = -9190,33 Zadanie 8 Inwestor posiada 2000 akcji spółki Y. Na rynku dostępne opcje na tą akcję: - A - call z 2-miesięcznym terminem wygaśniecia, - B - call z 2 tygodniowym terminem wygaśnięcia, - C - put z 2 miesięcznym terminem wygaśnięcia. Opcje te charakteryzują się następującymi współczynnikami greckimi: Opcja delta gamma A 0,15 4 B 0,42 2 C -0,23 6

vega 7 4 1

Zbuduj portfel złożony z akcji oraz odpowiednich opcji, aby był to portfel delta-gamma-vega neutralny. Aby portfel był delta-gamma-vega neutralny, wymienione współczynniki tego portfela muszą się równać 0. Stąd 2000+0,15XA+0,42XB-0,23XC=0 0+4XA+2XB+6XC=0 0+7XA+4XB+1XC=0 A= 3606,55 B= -6229,50 c= -327,86

2