Zagadnienia egzaminacyjne(Analiza matemat)WI

Strona 1 z 2
Wydział Informatyki
Kierunek: Automatyka i robotyka
Wykład: 60 godzin
Rok akad. 2016/17
Zagadnienia egzaminacyjne z przedmiotu
Analiza matematyczna
I. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Kres górny i kres dolny zbioru.
2. Zbiór, podzbiór i działania na zbiorach.
3. Iloczyn kartezjański zbiorów.
4. Pojęcie relacji, relacja równoważności, relacja porządkująca, relacja porządkująca liniowo. Zasada
abstrakcji.
5. Funkcja jako relacja.
6. Funkcje elementarne (funkcje: wielomianowa, wymierna, trygonometryczne, wykładnicza i
logarytmiczna) – wykresy, podstawowe własności.
7. Funkcja różnowartościowa, funkcja odwrotna (w tym: funkcje cyklometryczne), złożenie funkcji.
8. Funkcje okresowe, parzyste i nieparzyste.
9. Ciągi liczbowe, pojęcie granicy ciągu.
10. Funkcje rosnące i malejące.
II. GRANICA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
1. Granice właściwe i granice niewłaściwe funkcji. Granice jednostronne
2. Asymptoty wykresu funkcji.
3. Pojęcie ciągłości funkcji w punkcie i w przedziale.
III. POCHODNA FUNKCJI I JEJ WYBRANE ZASTOSOWANIA
1. Pochodna funkcji w punkcie.
2. Geometryczna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie. Równanie stycznej i normalnej.
3. Pochodna jako funkcja i reguły różniczkowania.
4. Twierdzenie Rolle`a i twierdzenie Lagrange`a o wartości średniej.
5. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie Taylora i twierdzenie Maclaurina. Rozwijanie funkcji e
x
, sinx,
cosx, w szereg potęgowy.
6. Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności, wypukłości (wklęsłości) i ekstremów funkcji.
7. Granice nieoznaczone. Twierdzenie de l`Hospitala.
8. Funkcje określone parametrycznie. Pochodna funkcji określonej parametrycznie.
IV. CAŁKA NIEOZNACZONA
1. Definicja funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Całki funkcji elementarnych. Własności całki
nieoznaczonej.
2. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie i twierdzenie o całkowaniu przez części.
3. Całkowanie funkcji wymiernych.
4. Całkowanie funkcji trygonometrycznych (podstawienie uniwersalne).
5. Całkowanie wybranych funkcji niewymiernych (podstawienia Eulera, metoda współczynników
nieoznaczonych).
V. CAŁKA OZNACZONA I ZASTOSOWANIA
1. Definicja i własności całki z funkcji ciągłej.
2. Całka Riemanna.
3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
Strona 2 z 2
4. Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pól obszarów płaskich.
5. Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania objętości brył obrotowych i ich pola powierzchni bocznej.
6. Całki niewłaściwe I-go i II-go rodzaju. Zbieżność całek.
VI. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych, dziedzina funkcji, wykres funkcji dwóch zmiennych.
2. Pochodne cząstkowe funkcji.
3. Pochodna kierunkowa funkcji dwóch i trzech zmiennych.
4. Różniczka zupełna funkcji i jej związek z przyrostem wartości funkcji. Zastosowanie różniczki do
obliczeń przybliżonych.
5. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
VII. CAŁKOWANIE FUNKCJI DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH
1. Całka podwójna po obszarze normalnym.
2. Zamiana zmiennych w całce podwójnej i w całce potrójnej (w tym: współrzędne biegunowe,
współrzędne walcowe i współrzędne sferyczne).
3. Zastosowania całki podwójnej w geometrii.
VIII. CAŁKI KRZYWOLINIOWE
1. Całka krzywoliniowa niezorientowana.
2. Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą (całkę Riemanna).
3. Wybrane przykłady zastosowania całek krzywoliniowych niezorientowanych.
4. Całka krzywoliniowa zorientowana.
5. Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą.
6. Twierdzenie Greena.
IX. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE I-GO RZĘDU
1. Definicja równania różniczkowego zwyczajnego.
2. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, całka ogólna i całka szczególna.
3. Zagadnienie Cauchy’ego.
4. Praktyczne metody rozwiązywania wybranych typów równań liniowych pierwszego rzędu .
5. Równania liniowe niejednorodne.
X. SZEREGI LICZBOWE I SZEREGI POTĘGOWE
1. Pojęcie szeregu liczbowego, szereg zbieżny i rozbieżny, suma i reszta szeregu.
2. Zbieżność bezwzględna.
3. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich. Sumy ważniejszych szeregów.
4. Kryterium całkowe zbieżności.
5. Szeregi potęgowe (w tym: badanie zbieżności, całkowanie i różniczkowanie szeregu).