Lekcja 6 Regresja

Regresja Wzory Funkcja regresji I rodzaju Funkcję regresji I rodzaju wyznaczamy przyporządkowując wartościom cechy niezależnej (oznaczonej jako X ) średnie warunkowe cechy zależnej ( Y ). Empiryczną linię regresji rysujemy na wykresie łącząc odpowiednie punkty odcinkami.

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 1

Funkcja regresji II rodzaju Jeżeli Y zależy od X , oszacowanie funkcji regresji II rodzaju ma postać:

yˆi  a0  a1 xi , gdzie: a1 

  x  X  y  Y   x  X  i

i

2

i

a0  Y  a1 X

Jeżeli X zależy od Y , oszacowanie funkcji regresji II rodzaju ma postać: xˆi  b0  b1 yi ,

gdzie: b1 

  x  X  y  Y   y Y  i

i

2

i

b0  X  b1Y

Uwagi Trzeba pamiętać, że sumy we wzorach oznaczają sumowanie wszystkich jednostek w próbie i w niektórych zadaniach może być konieczne dodatkowe mnożenie przez liczebności ni , o ile występują. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona: rxy   a1  b1 , znak przed pierwiastkiem jest zawsze taki sam, jak współczynników a1 i b1 . Dodatkowo współczynniki a1 i b1 można wyznaczyć ze wzorów: a1  rxy

S Y  SX 

b1  rxy

SX  S Y 

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 2

Badania dokładności dopasowania oszacowanej funkcji regresji Wariancja resztowa S

2

S

2

 y  yˆ  u    i

2

i

nk

i

 x  xˆ  z    i

i

nk

i

, jeśli Y zależy od X

2

, jeśli X zależy od Y

, gdzie k oznacza liczbę parametrów w funkcji regresji (w przypadku prostej k  2 ) Współczynnik zbieżności  2



2 yx

  y  yˆ    y Y  i

2

i

2

, jeśli Y zależy od X

i

  x  xˆ    x  X 

2



2 xy

i

i

2

, jeśli Y zależy od X

i

Współczynnik ten wskazuje, w ilu procentach zmiana wartości jednej zmiennej nie została wyjaśniona regresją. Zachodzi:

xy2  rxy2  1

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 3

Korelacja wielu zmiennych Korelacja cząstkowa Badamy wzajemną korelację dwóch cech, z pominięciem wpływu pozostałych. Współczynnik korelacji cząstkowej:

rij .abzc... 

 Pij Pii  Pjj

, gdzie:

rij .abzc... - współczynnik korelacji cząstkowej pomiędzy cechami o indeksach i i j , z

pominięciem cech o indeksach a, b, z, c,

.

Pij , Pii , Pjj - odpowiednie dopełnienia algebraiczne macierzy współczynników korelacji

1 r liniowej Pearsona: P   21    rn1

r12

r13

1

r23

rn 2

rn 3

... r1n  ... r2 n  .  ...  ... 1 

Korelacja wieloraka Badamy korelację wybranej cechy z wszystkimi pozostałymi łącznie Współczynnik korelacji wielorakiej:

Rw  Ri.abc...  1 

P R

, gdzie:

Ri.abc... - współczynnik korelacji wielorakiej cechy o indeksie i i wszystkich pozostałych cech

P - wyznacznik macierzy współczynników korelacji liniowej Pearsona

1 r P   21    rn1

r12 1 rn 2

r13 ... r1n  r23 ... r2 n   ...  rn 3 ... 1 

R - wyznacznik macierzy współczynników korelacji liniowej Pearsona, z której wykreślono wiersz z numerem i oraz kolumnę z numerem i .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 4

Regresja dla trzech zmiennych Jeżeli Y zależy od dwóch zmiennych X 1 i X 2 , oszacowanie funkcji regresji II rodzaju ma postać: yˆi  a0  a1 x1i  a2 x2i .

gdzie: a1 

S1 r12  r13  r23  S2 1  r232

a2 

S1 r13  r12  r23  S3 1  r232

a0  Y  a1 X 1  a2 X 2 Indeks 1 mają współczynniki dotyczące zmiennej Y , indeks 2 współczynniki dotyczące zmiennej X 1 , a indeks 3 współczynniki dotyczące zmiennej X 2 . Współczynnik korelacji wielorakiej:

RW  R1.23 

r122  r132  2r12 r13r23 1  r232

Wariancja resztowa: S 2  u   S12 1  RW2 

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 5