Pytania i zagadnienia do egzaminu EL NA S1 lato 2016-17

Pytania i zagadnienia do egzaminu z matematyki. E oraz NT, II semestr 2016/2017. Cze´ ¾s´c pisemna egzaminu obejmuje zadania z ca÷ego materia÷u. Aby przystapi´c do cze´ ¾sci ustnej nalez·y uzyska´c zaliczenie ´cwicze´n oraz pozytywna¾ocene¾ z cze´ ¾sci pisemnej. W cze´ ¾sci ustnej odpowiadamy z teorii - sprawdzane jest rozumienie poje´ ¾c i znajomo´s´c twierdze´n. Nalez·y przynie´s´c: . legitymacje¾ studencka, ¾ papier do pisania, pióro lub d÷ ugopis. Po otrzymaniu pyta´n mamy czas na przygotowanie sie¾ do odpowiedzi. Prosze¾ zwróci´c uwage¾ na poprawno´s´c logiczna¾i gramatyczna¾przygotowywanych odpowiedzi. Symbol oznacza zagadnienia o szczególnym znaczeniu, a obowiazkowe. ¾ Wymagana jest znajomo´s´c rachunku róz·niczkowego w zakresie semestru pierwszego, w szczególno´sci funkcji i umiejetno´ ¾ s´c róz·niczkowania. 1. 2.

De…nicje, w÷ asno´sci i wykresy funkcji elementarnych. W÷asno´sci logarytmu. (Semestr I). Róz·niczka funkcji (Semestr I).

3. De…nicja ca÷ ki nieoznaczonej. Jej w÷ asno´sci. 4. Ca÷ kowanie przez cze´ ¾sci. Zamiana zmiennych w ca÷ce nieoznaczonej. 5.

U÷ amki proste Rozk÷ad funkcji wymiernych na sume¾ u÷amków prostych i wielomianu. Ca÷ kowanie. R R R 6. Obliczanie ca÷ ek typu sin ax sin bxdx; sin ax cos bxdx; cos ax cos bxdx: Z jakich wzorów trygonometrycznych korzystamy? R 7. Ca÷ ki postaci xa lnb xdx: 8.

De…nicja ca÷ ki oznaczonej. Interpretacja geometryczna. W÷asno´sci. (Ka· zdy musi odpowiedziec na to pytanie.) W zor

Zb

f (x)dx = F (b)

F (a) N IE JEST DEF IN ICJA!!

a

9. Obliczanie ca÷ ek oznaczonych: twierdzenie Newtona, ca÷ kowanie przez cza´ ¾sci, zamiana zmiennych w ca÷ce oznaczonej. 10.

Zastosowania geometryczne ca÷ki oznaczonej: pole obszaru p÷ askiego. D÷ ugo´s´c ÷ uku krzywej. Proste przyk÷ady.

11.

Dwa rodzaje ca÷ ek niew÷asciwych - de…nicje, w÷asno´sci.

12.

De…nicje pochodnych czastkowych. ¾ 1

13.

Pochodna czastkowa ¾ funkcji z÷ oz·onej dwóch zmiennych.

14. Pochodne czastkowe ¾ wyz·szych rzedów. ¾ Lemat Schwarza. 15. Funkcja uwik÷ ana jednej zmiennej: warunek istnienia i obliczanie jej pochodnej. 16. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. 17.

Styczna i normalna do krzywej danej równaniem uwik÷anym.

18.

De…nicja szeregu liczbowego. Suma szeregu liczbowego. Zbiez·no´s´c i rozbiez·no´s´c. Warunek konieczny zbiez·no´sci szeregu.

19.

Szereg geometryczny. Kiedy jest zbiez·ny?. Obliczanie sumy szeregu geometrycznego.

20.

Szereg

1 P

n=1

21.

1 ns

i jego zbiez·no´s´c w zalez·nosci od parametru s:

Szereg harmoniczny - wykaz· rozbiez·no´s´c (s = 1).

22. Kryteria zbiez·no´sci: porównawcze, d’Alamberta, pierwiastkowe, ca÷kowe, porównawcze Cauchy’ego, porównawcze ilorazowe.. 23. Reszta szeregu i jej w÷ asno´sci. 24. 25.

Szereg przemienny, kryterium Leibniza. Szeregi funkcyjne. Zbiez·no´s´c jednostajna. Czym sie róz·ni od zbiez·no´sci zwyk÷ ej (punktowej)?

26. W÷ asno´sci szeregów zbiez·nych jednostajnie: ciag÷ ¾ o´s´c sumy szeregu, calkowanie, róz·niczkowanie. 27. Wzory Taylora i Maclaurina. (Semestr I). 28.

Szeregi potegowe ¾ i badanie ich zbiez·no´sci, w tym na ko´ncach przedzia÷ ów.

29. Rozwiniecia ¾ w szeregi potegowe funkcji ex ; sin x; cos x ln(1+x) i przedzia÷y ich zbiez·no´sci. Otrzymywanie rozwinie´ ¾c prostych funkcji z÷ oz·onych, np. x ln(1 + ax); e b ; ln(1 + x2 ) itp. 30.

31.

Równania róz·niczkowe zwyczajne. R. r. rzedu ¾ pierwszego. Posta´c normalna. Zagadnienie Cauchy’ego dla takiego równania. Jednoznaczno´s´c rozwiazania ¾ zagadnienia Cauchy’ego. R. r. o zmiennych rozdzielonych.

Tylko EL 32. R. r. które mozna sprowadzi´c do r. r. o zmiennych rozdzielonych: jednorodne y 0 = f ( xy ) oraz y 0 = f (ax + by + c): 2

33.

R. r. linowe i metoda uzmienniania sta÷ ej.

34. Wspó÷ rzedne ¾ biegunowe i ich zwiazek ¾ z wspó÷ rzednymi ¾ kartezja´nskimi. 35.

Przestrze´n L2(a;b) : Iloczyn skalarny w tej przestrzeni.

36.

Uk÷ ady: ortogonalny i ortonormalny funkcji.

37. Wspó÷ czynniki Fouriera. Skad ¾ sie¾ biora¾ i jaka¾ maja w÷ asno´s´c? 38. Szereg Fouriera funkcji f (SF (f )) 39. Szereg trygonometryczny Fouriera funkcji f (ST F (f )). 40.

Jakie warunki musza¾ by´c spe÷nione aby dla kaz·dego x 2 Df zachodzi÷a toz·samo´s´c ST F (f )(x) = f (x)?

41.

Sporzadzanie wykresu funkcji okresowej ST F (f )(x) na podstawie wykresu funkcji f (x):

Tylko NA 42. De…nicja ca÷ ki podwójnej. 43. Wyznaczanie granic ca÷kowania i zamiana na ca÷ki iterowane. 44. Ca÷ ka powierzchniowa niezorientowana jako uogólnienie ca÷ki podwójnej.

3